Réel, imaginaire pur (2) - Corrigé

Énoncé

Soit `x \in \mathbb{R}` et `z=(3x-i)(1+ix)` .

1. Déterminer la forme algébrique de `z` .

2. Pour quelle(s) valeur(s) de `x`  le nombre `z` est-il réel ?

3. Pour quelle(s) valeur(s) de `x`  le nombre `z` est-il imaginaire pur ?

Solution

1. `z= 4x + i(3x^2 -1)` .

2. `z` est un nombre réel si et seulement si `\text{Im}(z)=0`
si et seulement si `3x^2 -1= 0`
si et seulement si `x= \frac{1}{\sqrt{3}}` ou `x= -\frac{1}{\sqrt{3}}` .

3. `z` est un nombre imaginaire pur si et seulement si `\text{Re}(z)=0`
si et seulement si `4x= 0`
si et seulement si `x= 0` .